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Matemática · 1 min de leitura
Fatorial e combinações
Como contar de quantas formas coisas podem ser ordenadas ou escolhidas, e por que as loterias têm tantas chances.
Quantas senhas de quatro dígitos diferentes existem? De quantas formas cinco amigos podem sentar em cinco cadeiras? Perguntas como essas são de contagem, e a ferramenta básica é o fatorial.
O fatorial
O fatorial de n, escrito n!, é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Assim, 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Ele conta as maneiras de ordenar n objetos distintos. Os cinco amigos podem sentar de 120 formas diferentes.
Por convenção, 0! = 1, porque existe exatamente uma maneira de organizar zero objetos.
Combinações
Muitas vezes a ordem não importa. Em uma loteria em que você escolhe 6 números entre 60, o que importa é o conjunto, não a sequência. O número de combinações de n elementos tomados k a k é C(n, k) = n! / (k! (n−k)!).
Para a loteria de 6 em 60, isso dá cerca de 50 milhões de possibilidades. A chance de acertar um jogo específico é, portanto, muito pequena, e é por isso que os prêmios são tão grandes.
Triângulo de Pascal
Os coeficientes C(n, k) aparecem no triângulo de Pascal, em que cada número é a soma dos dois de cima. Eles também são os coeficientes do binômio (a + b)ⁿ, que é uma das ideias mais úteis da álgebra.