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Matemática · 1 min de leitura
Infinitos de tamanhos diferentes
Como Georg Cantor mostrou que existem infinitos maiores que outros, com um argumento que cabe em uma linha.
Os números naturais 1, 2, 3, … são infinitos. Os números pares também são infinitos, e parecem "menos" que os naturais, já que estão entre eles. Mas Galileu e outros já notaram que há uma correspondência perfeita: 1 com 2, 2 com 4, 3 com 6. Então, em certo sentido, os dois infinitos têm o mesmo tamanho.
Contáveis e não contáveis
Georg Cantor, em 1874, deu nome a essa ideia: um conjunto é contável quando pode ser colocado em correspondência com os naturais. Os inteiros, os racionais e até as frações são contáveis, por mais estranho que pareça.
Os números reais, porém, não são. Em 1891, Cantor usou o argumento da diagonal: suponha uma lista de todos os reais entre 0 e 1 em expansão decimal. Construa um número mudando um dígito de cada linha da diagonal. Esse número novo não está na lista. Logo, nenhuma lista pode ser completa.
Uma hierarquia de infinitos
A cardinalidade dos naturais é chamada de alef-zero (ℵ₀). A dos reais é maior, e Cantor mostrou que sempre existe um infinito maior que qualquer outro dado. A hipótese do contínuo, sobre se há algo entre ℵ₀ e a cardinalidade dos reais, foi mostrada independente dos axiomas usuais por Gödel e Cohen.