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Matemática · 1 min de leitura
Por que existem infinitos primos
A prova de Euclides, de cerca de 300 a.C., de que a lista de números primos nunca termina.
Os primos ficam mais raros conforme os números crescem: há 25 primos até 100, e apenas 168 até 1000. Mas será que, em algum ponto, eles acabam? Euclides respondeu a essa pergunta com uma das provas mais elegantes da matemática, e ela continua valendo sem mudanças.
A prova por contradição
Suponha, por absurdo, que existam só finitos primos: p₁, p₂, …, pₙ. Multiplique todos eles e some 1. Chame o resultado de N.
O número N não é divisível por nenhum dos primos da lista, porque sempre sobra resto 1. Mas todo número maior que 1 tem pelo menos um fator primo. Esse fator primo novo não está na lista, o que contradiz a suposição.
Portanto a lista nunca pode ser completa. Sempre existe um primo além de qualquer limite.
O que a prova não diz
A prova garante que há infinitos primos, mas não diz onde eles estão nem como encontrá-los. Ela também não diz que N é primo: às vezes N é composto, como em 2·3·5·7·11·13 + 1 = 30031 = 59 · 509. O argumento só precisa de um fator primo novo, e isso sempre existe.